. Ebene und feste analytische Geometrie . (1)2/=4X^; (2)y = -X Abb. 16 x = x, y = -x + y. Projektionsscheren von einfachen Scheren. Sincethe Transformationen (1) und (2) arespecial affine Transformationen (vgl. § 6) folgt, daß einfache Scheren gerade Linien in gerade Linien, Parallellinien in parallele Linien und Tangentkurven in tangentiale Kurven verschleppten. Sie nicht in der Regel bewahren Winkel. 354 ANALYTISCHE GEOMETRIE Einfache Scheren hingegen konservieren. Denn das gilt zunächst für alle Rechteck, deren Basis parallel zur Scherrichtung liegt, da ein solches Gewirr in ein Parallelogramm mit t getragen wird

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. Plane and solid analytic geometry . (1)2/=4X^; (2)y = -X Fig. 16 x = x, y = -x + y. Projjerties of Simple Shears. Sincethe transformations (1) and (2) arespecial affine transformations (cf. § 6), it follows that simple shears carrystraight lines into straight lines, parallellines into parallel lines, and tangentcurves into tangent curves. They donot in general preserve angles. 354 ANALYTIC GEOMETRY Simple shears do, however, preserveareas. For, first, this is true for anyrectangle whose base is parallel to thedirection of shearing, since such a rec-tangle is carried into a parallelogramwith the same lengths of base and alti-tude ; cf. Fig. 14. Secondly, the area Aof any other figure can be consideredas the limit of the sum of the areas ofrectangles of the type just described, which are inscribed in the figure asshown. But this sum is equal alwaysto the sum of the areas of the corre-sponding parallelograms, whose limit isthe area A^ of the transformed figure.Consequently, A = A, q. e. d.. Fig. 17 EXERCISES Construct the following curves. 2. y = 2x^ — ^x. 5. Sx=:y^ — 6y. S. y = — a^--x. 6. 2x = — 4:y^ — Sy. The same for the following curves, making use of a transla-tion as well as a shear. 7. y = a^--x-2. 9. x = 2y^ -Sy--l. 8. 2y = 2afi-x-^3. 10. 3x = -6y^-2y-7. 11. Construct the curve y=z2x^-6x^ + 7x-l, beginning by putting the equation into the form: y—h = 2{x — ay--k{x — a). The same for the curves: 12. y = x^ + 6x^-{-10x-7. TRANSFORMATIONS OF THE PLANE 355 13. 2a;= 22/3-67/2 + 9?/-3. Factor the two following shears by the method of § § 6, 7. 14. x = x--^^Sy, y = y- 15. x = x, y = -^VSx--y. 9. Second Method of Factorization. Homogeneous Strains. Theorem. The homogeneous affine transformatioi (1) x = ax-- b yy[ y = o!^ + ^V, A = aV - ah ^ 0, can he factored into one-dimensional strains and simple shears, ivith the addition, in certain cases, of a reflection in one or both axes. Case 1: a and b not both 0. In proving the theorem we begin

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