. Ebene und feste analytische Geometrie; ein elementares Lehrbuch. , 3) und sind tangential intern zu x2 + y2 = 25. 15. Finde den Ort der Kreismittelpunkte, die zu einem gegebenen Kreis reichen, und gehe durch einen festen Punkt außerhalb dieses Kreises. 16. Es werden Linien vom Punkt (1, 1) bis zur Hyperbel x2 gezogen – y2 = 1. Finden Sie den Ort der Punkte, die diese Linien im Verhältnis von 2 zu 1 teilen. 190 ANALYTISCHE GEOMETRIE [Kap. XIV 17. Die Linien werden aus dem Zentrum 0 des Zirkels gezogen.2 + y2 = r2, schneiden den Kreis in A und die Linie, x = A,in B. Finden Sie die Position von P, wenn 0, A, B und P einen harmonischen Bereich bilden. Sh

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. Plane and solid analytic geometry; an elementary textbook. , 3) and are tangent internallyto x2 + y2 = 25. 15. Find the locus of the centres of circles which aretangent to a given circle and pass through a fixed pointoutside of that circle. 16. Lines are drawn from the point (1, 1) to thehyperbola x2 — y2 = 1. Find the locus of the points whichdivide these lines in the ratio of 2 to 1. 190 ANALYTIC GEOMETRY [Ch. XIV 17. Lines are drawn from the centre 0 of the circlex2 + y2 = r2, cutting the circle in A and the line, x = a, in B. Find the locus of P, if 0, A, B, and P form aharmonic range. Show that the result will represent anellipse, hyperbola, or parabola, according as 4 r2 a2, 4 r2 = a2. 18. Find the locus of the vertex of a triangle if thelength of the base is <?, and the product of the tangentsof the base angles is k. Let P be any position of the vertex of the triangle, and 00 the base. We know that tan 0OP . tun PCO = k. But tan COP = - and tanPC0 = —*—r c — x Hence the condition whichmust be satisfied is , /2. Fig. 95. jr -=*. a/(tf — xl) Dropping primes and reducing, we havekx2 + y2 — hex = 0. This will be an ellipse or hyperbola, according as k ispositive or negative. In either case the coordinates ofthe centre will be {-, 0 ), and the semi-axes will be - andcVk T~ 19. Find the locus of the vertex of a triangle if thelength of the base is c, and the product of the tangents Ch. XIV] PROBLEMS IN LOCI 191 of the half base angles is k. Show that the locus is anellipse with the extremities of the base as foci. Note. — Express the tangents of half the base angles in terms of the three sides by the aid of the formula tan A =— ———? > s(s - a) 20. Find the locus of the vertex of a triangle if thelength of the base is c, and one of the base angles is twicethe other. 21. Find the locus of the intersection of tangents to the(a) parabola, (5) ellipse, (c) hyperbola, which include anangle 6. Show that if 6 — 90°, the results reduce to tho

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