. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung . in Richtung der Linie, es wird gesagt, konkav sein, oder zu haben, seine Kon-Cavity in Richtung der Linie gedreht; Aber, wenn der Sinn, in dem itbieds von der Tangente ist von der Linie, es wird gesagt, konvex zu sein, oder seine Konvexität in Richtung der Linie gedreht. Um die Bedingungen der Konkavität oder Konvexität der Akurve in Richtung einer bestimmten Linie zu finden, nehmen Sie diese Linie für die Achse von x, und lassen Sie P, von denen die Koordinaten x und y sind, der Punkt sein, an dem die Kurve unter Bezugnahme auf die Eigenschaften untersucht werden soll. Zeichnen Sie den Dangent bei F: Dann von
RM2CHCA1W–. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung . in Richtung der Linie, es wird gesagt, konkav sein, oder zu haben, seine Kon-Cavity in Richtung der Linie gedreht; Aber, wenn der Sinn, in dem itbieds von der Tangente ist von der Linie, es wird gesagt, konvex zu sein, oder seine Konvexität in Richtung der Linie gedreht. Um die Bedingungen der Konkavität oder Konvexität der Akurve in Richtung einer bestimmten Linie zu finden, nehmen Sie diese Linie für die Achse von x, und lassen Sie P, von denen die Koordinaten x und y sind, der Punkt sein, an dem die Kurve unter Bezugnahme auf die Eigenschaften untersucht werden soll. Zeichnen Sie den Dangent bei F: Dann von
. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung . d daher, dass das Zentrum des Kreises ist immer auf der konkaven Seite der Kurve, sincey - 6 ist der Unterschied zwischen der Ordinate des Kontaktpunktes und der Ordinate des Mittelpunktes des osculatorischen Kreises.im Allgemeinen ist der Kontakt eines osculatorischen Kreises von der zweiten Ordnung, das heißt von einer geraden Ordnung; Und folglich kreuzt er die Kurve am Kontaktpunkt, außer an den Partikularpunkten, wo der Kontakt von einer höheren Ordnung als der zweite ist.der oskulatorische Kreis wird oft Kreis der Krümmung genannt; andits cen
RM2CHC2RR–. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung . d daher, dass das Zentrum des Kreises ist immer auf der konkaven Seite der Kurve, sincey - 6 ist der Unterschied zwischen der Ordinate des Kontaktpunktes und der Ordinate des Mittelpunktes des osculatorischen Kreises.im Allgemeinen ist der Kontakt eines osculatorischen Kreises von der zweiten Ordnung, das heißt von einer geraden Ordnung; Und folglich kreuzt er die Kurve am Kontaktpunkt, außer an den Partikularpunkten, wo der Kontakt von einer höheren Ordnung als der zweite ist.der oskulatorische Kreis wird oft Kreis der Krümmung genannt; andits cen
. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung . n y^ := x^{1 - x^) ist, dass einer curvecomposed von zwei Zweigen, die am Ursprung treffen, und havetthe Achse von x für eine gemeinsame Tangente. Der Ursprung ist ein Multiplepoint. Sechstens ist EIN Punkt der Inflexion einer, an dem sich die Curveund ihre Tangente an diesem Punkt kreuzen. 151, Wir werden jetzt die analytischen Bedingungen feststellen, unter denen die Existenz und Natur der einzelnen Punkte in einer Kurve, wenn sie irgendwelche haben, kann allgemein anerkannt werden; Weglassen, für dieGegenwart, der Fall, in dem die erste differentielle Co-effiziente der Ordinate von
RM2CHCB6A–. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung . n y^ := x^{1 - x^) ist, dass einer curvecomposed von zwei Zweigen, die am Ursprung treffen, und havetthe Achse von x für eine gemeinsame Tangente. Der Ursprung ist ein Multiplepoint. Sechstens ist EIN Punkt der Inflexion einer, an dem sich die Curveund ihre Tangente an diesem Punkt kreuzen. 151, Wir werden jetzt die analytischen Bedingungen feststellen, unter denen die Existenz und Natur der einzelnen Punkte in einer Kurve, wenn sie irgendwelche haben, kann allgemein anerkannt werden; Weglassen, für dieGegenwart, der Fall, in dem die erste differentielle Co-effiziente der Ordinate von
. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. D (7, gemessen mit --. Aber •^ 2 Rechteck OLCA = OA X AC = nr X ^r = INR^^ das heißt, das Rechteck ist doppelt so groß wie die Fläche des generierenden Cir-cle : also 3area semi-cycloid OMGA =: -nr^, und daher ist die Fläche, die von einem einzigen Ast der Kreuzschnur und ihrer Basis begrenzt wird, dreimal so groß wie die Fläche des Generationskreises; oder, mit anderen Worten, diese Fläche ist drei Viertel des Rec-tangle, der für seine Basis den Umfang^ und seine Höhe den Durchmesser des generierenden Kreises hat. Obwohl der Bereich des Cycloids kann gesagt werden, t
RM2CHBN8F–. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. D (7, gemessen mit --. Aber •^ 2 Rechteck OLCA = OA X AC = nr X ^r = INR^^ das heißt, das Rechteck ist doppelt so groß wie die Fläche des generierenden Cir-cle : also 3area semi-cycloid OMGA =: -nr^, und daher ist die Fläche, die von einem einzigen Ast der Kreuzschnur und ihrer Basis begrenzt wird, dreimal so groß wie die Fläche des Generationskreises; oder, mit anderen Worten, diese Fläche ist drei Viertel des Rec-tangle, der für seine Basis den Umfang^ und seine Höhe den Durchmesser des generierenden Kreises hat. Obwohl der Bereich des Cycloids kann gesagt werden, t
. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. 2,^ x = -{li – 29), y- = 2j)x: Woher ?/^ = ^^i^ y-=2^ {22jxy =z 2 )3 und I>^ = 27^ ^^ ^) ^ ^ 27^ (^ -^) für die erforderliche Gleichung. Wenn der Ursprung der Koordinaten auf einen Punkt im Abstand p in Richtung positiver Abscissae übertragen wird, das Neuwesen parallel zu den primitiven Achsen, Die Gleichung der evo-Laute nimmt die Form 27j9 ^ oder V rt Wir erkennen leicht, dass diese Kurve symmetrisch ist mit Blick auf die Achse der Abscisse, und dass sie sich ohne Limit in Richtung x positiv erstreckt.durch die Differentialrichtung
RM2CHBTCR–. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. 2,^ x = -{li – 29), y- = 2j)x: Woher ?/^ = ^^i^ y-=2^ {22jxy =z 2 )3 und I>^ = 27^ ^^ ~^) ^ ^ 27^ (^ -^) für die erforderliche Gleichung. Wenn der Ursprung der Koordinaten auf einen Punkt im Abstand p in Richtung positiver Abscissae übertragen wird, das Neuwesen parallel zu den primitiven Achsen, Die Gleichung der evo-Laute nimmt die Form 27j9 ^ oder V rt Wir erkennen leicht, dass diese Kurve symmetrisch ist mit Blick auf die Achse der Abscisse, und dass sie sich ohne Limit in Richtung x positiv erstreckt.durch die Differentialrichtung
. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. ?^) = 0 : EVOLUTION DER ELLIPSE. 297 Whence y – y = ^ ^ ^ ^ i «^: ab y- Making a^ ^2 ^2^ ^^^ gj^j (5^ + c^?/^)y , c2?/3 c^y^ ,^, 2/-^ = ^-^^-^ =-2/ + -^r- .-.----/- (3). Indem wir in (1) den Wert von y - ^ gerade gefunden ersetzen, erhalten wir, Nachreduktion und die Eliminierung von y durch die Gleichung der Ellipse, jm = -^- (4). Eq. 4 könnte abgeleitet worden aus (3) durch die Änderung der Signof der letzteren, und in ihm schriftlich x für y, und a für B. Dies ist eine Sequenz der Symmetrie der Gleichung der Ellipse und der
RM2CHC0M6–. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. ?^) = 0 : EVOLUTION DER ELLIPSE. 297 Whence y – y = ^ ^ ^ _ ^ i «^: ab y- Making a^ _ ^2 _ ^2^ ^^^ gj^j (5^ + c^?/^)y , c2?/3 c^y^ ,^, 2/-^ = ^-^^-^ =-2/ + -^r- .-.----/- (3). Indem wir in (1) den Wert von y - ^ gerade gefunden ersetzen, erhalten wir, Nachreduktion und die Eliminierung von y durch die Gleichung der Ellipse, jm = -^- (4). Eq. 4 könnte abgeleitet worden aus (3) durch die Änderung der Signof der letzteren, und in ihm schriftlich x für y, und a für B. Dies ist eine Sequenz der Symmetrie der Gleichung der Ellipse und der
. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. Bsp. 2. Y^ie,x. Wenn A; auf jeden Fall groß sein, und positiv oder nega-tiv, y nähert sich der Grenze 1; butif X unbegrenzt klein sein, und positiv, y nähert sich der Grenze 0; während, für negative und sehr kleine Werte von a?, y nähert--- oo . Die Kurve wird aus zwei Verzweigungen bestehen, wie rep-resented in der Abbildung, und wird für das gemeinsame asymptoteto diese die Parallele zur Achse von x im Abstand 1 haben. Drittens, Punkte Segeltörns sind diejenigen, an denen zwei Abzweigungen einer Kurve verbinden und stoppen, aber nicht über eine gemeinsame tange
RM2CHCC61–. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. Bsp. 2. Y^ie,~~x. Wenn A; auf jeden Fall groß sein, und positiv oder nega-tiv, y nähert sich der Grenze 1; butif X unbegrenzt klein sein, und positiv, y nähert sich der Grenze 0; während, für negative und sehr kleine Werte von a?, y nähert--- oo . Die Kurve wird aus zwei Verzweigungen bestehen, wie rep-resented in der Abbildung, und wird für das gemeinsame asymptoteto diese die Parallele zur Achse von x im Abstand 1 haben. Drittens, Punkte Segeltörns sind diejenigen, an denen zwei Abzweigungen einer Kurve verbinden und stoppen, aber nicht über eine gemeinsame tange
. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. Wird positiv oder negativ aeeerding a^^ theangle pox = 0 ist größer oder kleiner als die aiuie JLo.v. Diese 432 INTEGRALRECHNUNG. Ergebnisse können für mehrere Zwecke verwendet werden^ die wichtigsten davon sind, - Erstens, um die Länge eines Teils einer Kurve zu finden, die Gleichung der Kurve gegeben wird. In diesem Fall können aus der Gleichung der Kurve und der Gleichung dy dx – COT.^, X und ?/ und damit ^:) = ic cos. d -- y sin. d, die Zwischenstufen von d bestimmt werden; und durch Integration kann s aus der Gleichung s = - gefunden werden
RM2CHB9Y4–. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. Wird positiv oder negativ aeeerding a^^ theangle pox = 0 ist größer oder kleiner als die aiuie JLo.v. Diese 432 INTEGRALRECHNUNG. Ergebnisse können für mehrere Zwecke verwendet werden^ die wichtigsten davon sind, - Erstens, um die Länge eines Teils einer Kurve zu finden, die Gleichung der Kurve gegeben wird. In diesem Fall können aus der Gleichung der Kurve und der Gleichung dy __dx – COT.^, X und ?/ und damit ^:) = ic cos. d -- y sin. d, die Zwischenstufen von d bestimmt werden; und durch Integration kann s aus der Gleichung s = -~ gefunden werden
. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential- und Integralrechnung . o – a: Aber 0z=O gibt r ^oo ; woher die Linie parallel zur Polarachse in der Entfernung von ihr gleich ist – a ist ein Asymptote zur Kurve. Diese Kurve, beginnend mit unendlicher Distanz, nähert sich kontinuell dem Pol und macht eine unbestimmte Anzahl von Wendungen, ohne ihn zu erreichen. 160* Wenn die Kurve in der Nähe einer Tangentiallinie eines beliebigen Punktes und der Pol auf derselben Seite der Tangente liegen, so ist die Kurve an diesem Punkt konkav zum Pol; wenn aber die Kurve und der Pol auf entgegengesetzten Seiten der Tangente liegen, t
RM2CHC5YJ–. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential- und Integralrechnung . o – a: Aber 0z=O gibt r ^oo ; woher die Linie parallel zur Polarachse in der Entfernung von ihr gleich ist – a ist ein Asymptote zur Kurve. Diese Kurve, beginnend mit unendlicher Distanz, nähert sich kontinuell dem Pol und macht eine unbestimmte Anzahl von Wendungen, ohne ihn zu erreichen. 160* Wenn die Kurve in der Nähe einer Tangentiallinie eines beliebigen Punktes und der Pol auf derselben Seite der Tangente liegen, so ist die Kurve an diesem Punkt konkav zum Pol; wenn aber die Kurve und der Pol auf entgegengesetzten Seiten der Tangente liegen, t
. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. dx dt dt und wir können oder -/1(S)*+(S)+(S)T- 254 haben, um die Formeln des letzten Artikels in Polarformeln umzuwandeln, den Pol am Ursprung der Koordinaten nehmen und den Winkel, den der Radiusvektor mit der Achse von2 bildet, denoteby d, Und durch g) den Winkel, den seine Projektion auf der Ebene (cc, y) macht mit der Achse von x; dann haben wir die relationsx^^r sin. 6 cos. (p, y ^r sin. d sin. gy, s = r cos. 6. Diese drei Gleichungen bilden zusammen mit den beiden Gleichungen der Kurve fünf, zwischen denen wir r und qo begreifen können
RM2CHB9TF–. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. ~ dx dt dt und wir können oder -/1(S)*+(S)+(S)T- 254 haben, um die Formeln des letzten Artikels in Polarformeln umzuwandeln, den Pol am Ursprung der Koordinaten nehmen und den Winkel, den der Radiusvektor mit der Achse von2 bildet, denoteby d, Und durch g) den Winkel, den seine Projektion auf der Ebene (cc, y) macht mit der Achse von x; dann haben wir die relationsx^^r sin. 6 cos. (p, y ^r sin. d sin. gy, s = r cos. 6. Diese drei Gleichungen bilden zusammen mit den beiden Gleichungen der Kurve fünf, zwischen denen wir r und qo begreifen können
. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. ^ die Revolution eines einzelnen Zweiges des Cycloids, Ex. 5. Volumen eines Ellipsoids, nehmen Sie für die Koordinatenachsen die Hauptachsen des Ellipsoids. Die Gleichung seiner Oberfläche ist dann -^ -^t^ -^ = 1.a^ b^ c^ der Schnitt PMM des Ellipsoids, der durch eine Ebene parallel zur Ebene ZOY gebildet wird, Und bei der Dis-tanz OP = X vom Ursprung, hasfor seine Gleichung y 2 X^ h^ c- a werden die Halbachsen dieses Abschnitts gefunden, indem man in sukzession2 :z^ 0, 2/ = 0 ; sie sind. N a- a- also ist die Fläche des Abschnitts ^ a- a- und, für t
RM2CHBF2T–. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. ^ die Revolution eines einzelnen Zweiges des Cycloids, Ex. 5. Volumen eines Ellipsoids, nehmen Sie für die Koordinatenachsen die Hauptachsen des Ellipsoids. Die Gleichung seiner Oberfläche ist dann -^ -^t^~ -^ = 1.a^ b^ c^ der Schnitt PMM des Ellipsoids, der durch eine Ebene parallel zur Ebene ZOY gebildet wird, Und bei der Dis-tanz OP = X vom Ursprung, hasfor seine Gleichung y 2 _ X^ h^ c- a werden die Halbachsen dieses Abschnitts gefunden, indem man in sukzession2 :z^ 0, 2/ = 0 ; sie sind. N a- a- also ist die Fläche des Abschnitts ^ a- a- und, für t
. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. BEREICHE VON EBENENKURVEN. - VON FESTSTOFFEN UND OBERFLÄCHEN OFREVOLUTION. 156* Lassen Sie den Pol mit dem Ursprung eines Systems von rechteckigen Koordinatenachsen zusammenfallen: Bezeichnen Sie den Radiusvektor durch r und den Winkel, genannt vektorieller Winkel, den er mit der Achse von X bildet, die als Anfangslinie oder polare Achse genommen wird, durch 6; Die Formeln, mit denen eine Gleichung, ausgedrückt in rec-tangare Koordinaten, in einen Ausdruck von polaren Koordinaten umgewandelt werden kann, sind x:=r cos. 6, y ^=.r sin. d. Um in polaren Koordinaten das ta auszudrücken
RM2CHC947–. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. BEREICHE VON EBENENKURVEN. - VON FESTSTOFFEN UND OBERFLÄCHEN OFREVOLUTION. 156* Lassen Sie den Pol mit dem Ursprung eines Systems von rechteckigen Koordinatenachsen zusammenfallen: Bezeichnen Sie den Radiusvektor durch r und den Winkel, genannt vektorieller Winkel, den er mit der Achse von X bildet, die als Anfangslinie oder polare Achse genommen wird, durch 6; Die Formeln, mit denen eine Gleichung, ausgedrückt in rec-tangare Koordinaten, in einen Ausdruck von polaren Koordinaten umgewandelt werden kann, sind x:=r cos. 6, y ^=.r sin. d. Um in polaren Koordinaten das ta auszudrücken
. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. Huno 64 426 INTEGRALRECHNUNG, Ex. 6. Die Flächen von Oberflächen und Volumina von Feststoffen wurden bisher durch eine einzelne Integration gefunden. Als Beispiel für die doppelte Integration sei es erforderlich, das Volumen zu finden, das durch die durch die Gleichung xy ziz az bestimmte Fläche bestimmt wird, und durch die vier Ebenen, die für ihre Gleichungen x = x^, x=x,^, y – VI, y – haben VI.der Ausdruck für dieses Volume ist =/:;/;;f**=r.w-=5(:-<) = J {^2 - ^1) {y-i - ^1) (2i + 2., + ^3 + 24). In welchem z^, 29; ^3? ^4? ^^^ die Ordinate der Punkte, in denen die spät
RM2CHBE2H–. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. Huno 64 426 INTEGRALRECHNUNG, Ex. 6. Die Flächen von Oberflächen und Volumina von Feststoffen wurden bisher durch eine einzelne Integration gefunden. Als Beispiel für die doppelte Integration sei es erforderlich, das Volumen zu finden, das durch die durch die Gleichung xy ziz az bestimmte Fläche bestimmt wird, und durch die vier Ebenen, die für ihre Gleichungen x = x^, x=x,^, y – VI, y – haben VI.der Ausdruck für dieses Volume ist =/:;/;;f**=r.w-=5(:-<) = J {^2 - ^1) {y-i - ^1) (2i + 2., + ^3 + 24). In welchem z^, 29; ^3? ^4? ^^^ die Ordinate der Punkte, in denen die spät