. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische Kegelschnitte . E Durchmesser PV trifft die Kurve bei P, die Ordinate von P = die Ordinate von V = --^ = -, wobei m die Steigung des Echordes ist. *^ .^ ™. Die Abszisse von P = – j und y = mx – ist die Tangente bei P. Daher ist die Tangente am Ende eines Durchmessers parallel zu den um diesen Durchmesser halbierten Akkorden. Dies kann auch durch das Lassen der Akkord QQ Bewegung parallel zu sich selbst, bis V fällt mit P gesehen werden. Die gleichen Anteile VQ, VQ verschwinden zusammen, wenn V Zufälle mit P, und der Akkord wird eine Tangente. 147. Die Gleichung eines Akkordes des Parabols zu finden

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. Algebraic geometry; a new treatise on analytical conic sections . e diameter PV meets the curve at P, the ordinate of P = the ordinate of V = -—^ = —, where m is the slope of thechord. *^°^ ™ .. the abscissa of P = —j, and y = mx-— is the tangent at P. Therefore the tangent at the end of a diameter is parallel tothe chords bisected by that diameter. This may also be seen by letting the chord QQ move parallelto itself until V coincides with P. The equal portions VQ, VQ vanish together when V coincideswith P, and the chord becomes a tangent. 147. To find the equation of a chord of the parabola ■f = iax interms of the co-ordinates (x-^, y^ „of its middle point. Let QQ be the chord whosemiddle point is V(a;, , y, ), andlet it make an angle 9 withthe axis of x. Its equation is •(1) cos 6 sin 6 x = x-^ + r cos 0, y = y^ + r sine; .. where it meets the curvewe have by substitution, (yj 4- r sin 6)^ = 4a(xj^ + r cos 0) or r^sin^^ + 2r (^1 sin 0-2a cos 0) Now this chord meets the curve at Q and Q; .. VQ and VQ are the roots of this quadratic.. Fig. 91. 134 THE PARABOLA. [chap. Vm. Also VQ and VQ are equal but of opposite sign;.. y-i sin 6-2a cos 6 — 0 or y-^sm0=2acos9 (2) Multiplying (1) and (2) so as to eliminate 6, {y y-dVi = 2a(x - Sj) is the equation of the chord. 148. The equation of the chord joining the two points (a^, y-^, (a^a, ^2) on the parabola y^—iax may be written in the form {y-yi)(yi+y2)=M«-^)- The equation of the line joining the two given points is y-y^^x-x-^ ^^j But (iCj, .%) is on the curve. .. y^ — ^iox^.For the same reason, y^ = A^ax^. :. by subtraction, {yi-y^iy2 + yi) = ^^{^2-^ (2) Multiplying (1) and (2), the equation of the chord is (j-2i)(y2 + yi) = 4«(a:-ai)- Cor. From this equation we might deduce the equation ofthe tangent at the point {x^, y-y). Let the two points move up to one another so that Kj becomesequal to x-^ and y„ to y^. The equation becomes (y-«i)2yi = 4a(9;-a;i)or yy-y = lax - lax^ + y^ = lax - iax-y + Aa

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