. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. Fio. 126. Der Durchmesser CP halbiert den Akkord QQ bei V, und das Echord parallel zu sich bewegen lassen, der Punkt V nähert sich P. der Durchmesser halbiert immer den Akkord. Wenn also V mit P zusammenfällt, verschwinden die gleichen Anteile QV, QV zusammen, und der Chord wird zur Tangente bei P. Dies beweist den Satz. KUNST. 210.] KONJUGIERTE DURCHMESSER. 197 210. Lassen SIE POP, DCD zwei konjugierte Durchmesser, und lassen Sie 6and die exzentrischen Winkel der Punkte P und D.. FLQ. 127. [Mm =--,), , . Y X die Gleichung von CP ist , r ,, = 3. ^ 0 sin 6 a cos

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RM2CH9MXF–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. 264. Der Schüler muss vorsichtig sein, zwischen einer geraden Linie, die einer Kurve in der Unendlichkeit und an imaginären Punkten trifft, zu unterscheiden. Nehmen Sie die gerade Linie 1 = 0, wobei m > 1. v? IfiWo trifft es die Kurve -^-t^=^, haben wir, durch Ersetzung. Jetzt m^ > 1; .. VL - m^ ist imaginär, und die Linie entspricht nicht der Kurve an realen Punkten. Im Falle des Asymptoten -- = 0, wo es trifft, die Kurve, haben wir durch Ersetzung, -o - -s = 1 oder 1=0. In diesem c^se trifft die Lirte auf die Kurve an realen Punkten, aber die Punkte sind in einer unendlichen Dista

RM2CH9HXG–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische Kegelschnitte . Wort der Hyperbel -2 - fij = 1> *** Termsen der Koordinaten ihres Mittelpunktes (%, y^).Weiter wie in Art. 207, schriftlich - b^ für b^. Konjugierte Durchmesser. Wie in der Ellipse werden zwei Durchmesser als konjugiert bezeichnet, wenn jeder Akkord parallel zum anderen halbiert. X^ y^Wenn eine Reihe paralleler Akkorde der Hyperbel -3-12=^ einen Winkel 6 mit der Querachse bilden, Der Ort ihrer Mittelpunkte ist eine gerade Linie durch das Zentrum (ein Durchm/Meter) wliose Gleichung isxcosd ysin6 um dies zu beweisen, verwenden Sie die Methode der

RM2CHDT61–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. EIN = tan 0, oder - = tan 9, X und FiO. 17. 16. Steigung oder Gradient. Bezeichnet die Tangente des Winkels, die eine gerade Linie mit der Achse von x bildet, und wird die Steigung oder Gradient der Linie genannt. Es wird wie folgt gemessen: Schneidet die gerade die Achse von x bei A, so soll as;um den Punkt Ain eine positive Richtung drehen, bis sie mit der Geraden übereinstimmt. Die Tangente des Winkels, die AA; hat turnedthrough ist die Steigung der Linie. So sind in der Abbildung die Steigungen der differentlines y = mx, wenn tan d = m.y = mx.

$. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. Pendelbahn gezogen, um es aus dem Fokus. Let y = »?ia; + - ... (1) die Gleichung der Tangente sein. Die Koordinaten des Fokus sind (a, 0)... die Gleichung des Senkrechten ist 2^=--(a;-«)■•• (2). [Y-yi = m{x-x^)] um den Ort der Kreuzung von (1) und (2) zu finden, müssen wir m. Durch Subtraktion kann 0 = xm + - Jetzt m + - nicht gleich Null sein, denn in diesem Fall m wouldm ^ imaginär sein; .. A; = 0 ist die Gleichung des Locus. Dies ist die Achse von y. Daher schneidet eine Tangente zu einer Parabel das senkrecht zu ihm von Th Stockfoto$

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RM2CH97CW–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte . E durch Addition, -(sec 6 + tan 6) - (sec 6 + tan 6) = 0, ^ y r oder - = 0.a 0 aber dies ist die Gleichung eines Asymptoten, die theproposition beweist. Wenn sich diese Tangenten bei T treffen, ist CPTD ein Parallelogramm, wie im vorhergehenden Artikel beschrieben. *291. Bei konjugierten Durchmessern als Koordinatenachsen ist die Gleichung der Asymptotes -t^ - p = 0, oder getrennt, ihre Gleichungen sind - ^ = 0. Und - -f- r; = 0. Lassen Sie die Achse von y treffen die konjugierte Hyperbel bei D, und Zugtangenten zu den Kurven bei P und D zu treffen bei T. T liegt auf dem Asymptote -

RM2CHCC5X–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. H bewegt sich, so dass seine Entfernung von einem fixedpoint ist in einem konstanten Verhältnis zu seiner rechtwinkligen Abstand von afixed gerade Linie. Der Fixpunkt wird Fokus genannt. Die feste gerade Linie wird directrix genannt, das konstante Verhältnis wird Exzentrizität genannt und wird benotedbye. Wenn die Exzentrizität e gleich Einheit ist, wird der Ort aParabola genannt. Daher ist eine Parabel der Ort eines Punktes, der sich so bewegt, dass Abstand von einem festen Punkt, genannt the.Focus, gleich ist itsperpendicular Abstand von afixed gerade Linie, Anruf

RM2CHC4PY–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische Kegelschnitte . E Durchmesser PV trifft die Kurve bei P, die Ordinate von P = die Ordinate von V = --^ = -, wobei m die Steigung des Echordes ist. *^ .^ ™. Die Abszisse von P = – j und y = mx – ist die Tangente bei P. Daher ist die Tangente am Ende eines Durchmessers parallel zu den um diesen Durchmesser halbierten Akkorden. Dies kann auch durch das Lassen der Akkord QQ Bewegung parallel zu sich selbst, bis V fällt mit P gesehen werden. Die gleichen Anteile VQ, VQ verschwinden zusammen, wenn V Zufälle mit P, und der Akkord wird eine Tangente. 147. Die Gleichung eines Akkordes des Parabols zu finden

RM2CHAD8X–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. Abb. 136. 214 EIGENSCHAFTEN DER ELLIPSE. [Kap. X. 233. In einer Ellipse schneiden sich Tangenten an den Enden eines Fokusakkordes mit der entsprechenden Directrix. Dies kann wie in Art. 166 für die Parabel nachgewiesen werden, oder wie folgt: Die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Directrix können als sein genommen werden (, y^y die Gleichung des Polars dieses Punktes ist = 1. Oder - + ^i = Lae ¥ Dies geht durch den Punkt (ae, 0) den entsprechenden Fokus, und dies beweist den Satz. 234. Wenn von T, jeder Punkt auf der Tangente bei P, Senkrechte TR, TM, gezeichnet werden

$. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. -8, und finden Sie die Koordinaten seiner Kontaktstelle. 4. Beweise, dass die gerade Linie y=3x-33 eine Normalität zur Parabel^2=4a; ist, und finde die Ordinate der Punkte, wo sie auf die Kurve trifft. 5. Finden Sie die Gleichung der Ellipse, deren Fokus ist an dem Punkt (0, 6), deren directrix ist die Achse von x, und Exzentrizität e. 6. Finde den Pol der geraden Linie y=m{x-ae) in Bezug auf die Ellipse -2 + ia = l) *, die ihre Exzentrizität ist.Ableiten einer geometrischen Eigenschaft der Ellipse. 7. Finden Sie die Lokus der Schnittmenge von Tangenten zu Th Stockfoto$

RM2CH9X3P–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. -8, und finden Sie die Koordinaten seiner Kontaktstelle. 4. Beweise, dass die gerade Linie y=3x-33 eine Normalität zur Parabel^2=4a; ist, und finde die Ordinate der Punkte, wo sie auf die Kurve trifft. 5. Finden Sie die Gleichung der Ellipse, deren Fokus ist an dem Punkt (0, 6), deren directrix ist die Achse von x, und Exzentrizität e. 6. Finde den Pol der geraden Linie y=m{x-ae) in Bezug auf die Ellipse -2 + ia = l) *, die ihre Exzentrizität ist.Ableiten einer geometrischen Eigenschaft der Ellipse. 7. Finden Sie die Lokus der Schnittmenge von Tangenten zu Th

RM2CH9T3M–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte . rdinates, und die geht durch den Punkt (A^i, VT) ist i ^i- i ■ 13. Die Exzentrizität einer Hyperbola, die Ji ist, und die Entfernung ihres Fokus von der directrix – j=, erhalten ihre Gleichung in ihrer einfachsten Form mit dem Zentrum als Ursprung. 252, um die Gleichung der Tangente zur Hyperbel -j -r2= 1am Punkt (x^, y-^. * der Nachweis in Art. 189 gilt, wenn - V^ für V^ geschrieben ist. Die erforderliche Gleichung ist –^-^ = 1. Um die Gleichung der Normalität zur Hyperbel zu finden, ^ -15= 1 am■Punkt (»!, yj). * in Art. 191 schreiben - b^ für h^,

$. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. In diesem Fall. Der Satz kann in der gleichen Weise mit jedem anderen Gleichungen nachgewiesen werden. 52. Um die Gleichung der Geraden zu finden, die den Ursprung mit den Schnittpunkten der Axt^ + 2hxy + durch^ + 2gx + 2fy + c = 0 (1) und lx + rn.y + n = 0 (2) verbinden, wird die erforderliche Gleichung homogen und secondary sein. In Gleichung (1) multiplizieren Sie die Begriffe des zweiten Grades mit (- n) „ „ First „ -{lx + my)n, „ Constant Term mit (IX + my). Anmerkung: Diese drei Ausdrücke sind gleich für lx + my= -n.] Das Ergebnis ist n2(aa;2 + 2hxy + x^) Stockfoto$

RM2CHDB3K–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. In diesem Fall. Der Satz kann in der gleichen Weise mit jedem anderen Gleichungen nachgewiesen werden. 52. Um die Gleichung der Geraden zu finden, die den Ursprung mit den Schnittpunkten der Axt^ + 2hxy + durch^ + 2gx + 2fy + c = 0 (1) und lx + rn.y + n = 0 (2) verbinden, wird die erforderliche Gleichung homogen und secondary sein. In Gleichung (1) multiplizieren Sie die Begriffe des zweiten Grades mit (- n) „ „ First „ -{lx + my)n, „ Constant Term mit (IX + my). Anmerkung: Diese drei Ausdrücke sind gleich für lx + my= -n.] Das Ergebnis ist n2(aa;2 + 2hxy + x^)

RM2CHBYKW–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. Lassen Sie (aij, yj) die Koordinaten von P.dann ist die Gleichung der Tangente PT yy.^2a(x + XJ).bei T, ein Punkt auf dieser Linie, y = Q;.. 2a(x + x-^) = 0; .. X= -x^ (für A ist nicht gleich Null),oder AT = AN, ist aber von entgegengesetztem Zeichen.das entgegengesetzte Zeichen zeigt an, dass AN und AT in entgegengesetzten Richtungen gezeichnet werden. AUSSERDEM SP=PK = NX = AX-I-AN = AS + AT = ST. Def. NT wird Subtangente genannt. Daher wird die Subtangente am Scheitelpunkt halbiert. 160. Die Tangente bei P, einem Punkt auf einer Parabel, halbiert den Winkel zwischen PK und der Senkrechten auf der Directrix, und

RM2CH9ENJ–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische Kegelschnitte . entre auf jeder Tangente zur Hyperbolax^-y^=a^ trifft die Tangente in Z und die Kurve in Q; beweisen, dass CZ. CQ=A^ 260 DER HYPEEBOLA. [Kap. XII 19. Finden Sie die Gleichung zum Akkord der Hyperbel ?5a:^-16y=400welche an der Stelle geteilt wird (5, 3). 20. Wenn das Polar eines beliebigen Punktes in Bezug auf die Hyperbel durch ein Ende der Konjugatachse geht, beweisen Sie, dass der Pol auf der Tangente der Konjugathyperbola am anderen Ende dieser Achse liegt. *280. Die Gleichung einer Hyperbel bezogen sich auf uns (asymptotes als Axesof Co-ordina

$. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. PQ. .*. CV ist ein Durchmesser halbierenden Akkorde parallel zu PQ oder CV, und CV „ „ „ PQ oder CV. .. CV, CV sind konjugierte Durchmesser und sind parallel zu den ergänzenden Akkorden PQ, PQ. 200 DIE ELLIPSE. [Kap. x. 213. Wenn eine Ellipse uns am Ursprung mittig hat, enthält ihre Gleichung keine Begriffe des ersten Grades. Wenn möglich, lassen Sie ax^ + 2hxy + durch^ + 2gx+2fy + c = 0 die Gleichung der Ellipse sein. Lassen Sie {x, y) einen beliebigen Punkt auf der Kurve sein. Da sich der Ursprung dann im Zentrum befindet, befindet sich {-x, -y) auch auf der Kurve. .. ax^ + 2hxy + von^ + 2gx + 2fy + c = 0 und a Stockfoto$

RM2CHAKJH–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. PQ. .*. CV ist ein Durchmesser halbierenden Akkorde parallel zu PQ oder CV, und CV „ „ „ PQ oder CV. .. CV, CV sind konjugierte Durchmesser und sind parallel zu den ergänzenden Akkorden PQ, PQ. 200 DIE ELLIPSE. [Kap. x. 213. Wenn eine Ellipse uns am Ursprung mittig hat, enthält ihre Gleichung keine Begriffe des ersten Grades. Wenn möglich, lassen Sie ax^ + 2hxy + durch^ + 2gx+2fy + c = 0 die Gleichung der Ellipse sein. Lassen Sie {x, y) einen beliebigen Punkt auf der Kurve sein. Da sich der Ursprung dann im Zentrum befindet, befindet sich {-x, -y) auch auf der Kurve. .. ax^ + 2hxy + von^ + 2gx + 2fy + c = 0 und a

RM2CHA730–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. 27.)ähnlich ist TZ auch eine Tangente. 238. Eine Kurve gegeben, die ihm eine Ellipse ist, findet ihr Zentrum, die Positionen und Längen ihrer Hauptachsen und ihre Modeerscheinung. Zeichnen Sie zwei parallele Akkorde und teilen Sie sie bei V und V.Lassen Sie VV produziert treffen die Kurve bei P und P. PP ist ein Durchmesser, denn es halbiert Parallelchords. .. C der Mittelpunkt von PP ist das Center. Auf PP als diameterbeschreiben eine circlemeeting der Ellipseat Q. lPQP ist Art. L, und PQ, PQ aresupplemental Akkorde. .. Die DurchmesserACA, BCB parallel Toj^Q und PQ sind con-jugate Diame

$. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. X-^ ist das Polar des Punktes (asj, y^. Die Gleichung einer Normalität zur Kurve y^ = 4aa; wird nicht wie bei rechteckigen Achsen der Name sein, denn die Bedingung der Rechtwinkligkeit von geraden Linien ist nicht die gleiche. (Art 69.) An der Stelle {x^, y^ ist die Gleichung der Normalität /?/j + 2ai cos (y^ 2a+y^cosej 6 ist der Winkel zwischen den Achsen.an der Stelle (- s, - Die Gleichung ist ?^- (l+mcose( dy m xm + cosd ) n?)die Beweise werden als Übung für den Schüler hinterlassen. *179. Bei OQ sind OQ Tangenten zu einer Parabel und die Diame Stockfoto$

RM2CHBF1Y–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. X-^ ist das Polar des Punktes (asj, y^. Die Gleichung einer Normalität zur Kurve y^ = 4aa; wird nicht wie bei rechteckigen Achsen der Name sein, denn die Bedingung der Rechtwinkligkeit von geraden Linien ist nicht die gleiche. (Art 69.) An der Stelle {x^, y^ ist die Gleichung der Normalität /?/j + 2ai cos (y^ 2a+y^cosej 6 ist der Winkel zwischen den Achsen.an der Stelle (- s, - Die Gleichung ist ?^- (l+mcose( dy m xm + cosd ) n?)die Beweise werden als Übung für den Schüler hinterlassen. *179. Bei OQ sind OQ Tangenten zu einer Parabel und die Diame

RM2CH99FJ–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte . s die Achsen in M und N : zeigen, dass, wenn senkrecht MP, NP zu den Achsen gezeichnet werden, der Ort von Pwill die Hyperbel AV - 6V=(»* + *)• ART sein. 286.] LOKUS PROBLEME AUF DER HYPERBEL. 267 18. Beweisen Sie, dass die Lage des Schnittpunkts der Tangenten zur Stelle a;-y^=a, die sich in einem Winkel von 45 Grad geneigt sind, die Stelle ist (3?+y^f=ia?(a? + wenn^- x). 19. Eine gerade Linie berührt den Kreis, der für seinen Durchmesser die Linie hat, die die Brennpunkte der Hyperbel h^x^-a?y^=a%^ verbindet. Zeigen Sie, dass der Ort von, seinen Pol in Bezug auf

RM2CH9FR2–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. Onjugate Durchmesser der ursprünglichen Hyperbel. 278. Hat eine Hyperbel ihren Mittelpunkt am Ursprung, so enthält ihre Gleichung keine Begriffe des ersten Grades. Siehe Art. 213. *279. Um die Gleichung einer Hyperbel zu finden, bezog sich auf zwei Konjugatdiameter als Koordinatenachsen. (Schräg.) Der Ursprung liegt im Zentrum der Kurve, wenn (x, y) auf der Kurve liegt, {-X, -,y) liegt ebenfalls auf der Kurve. .. Seine Gleichung kann keine Begriffe des ersten Grades enthalten. Wir können daher AA;2 + 2ha;y+B2/2=l (1) als Gleichung der Hyperbel nehmen. Erneut, wenn P

RM2CH8YNP–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische Kegelschnitte . eine Hyperbola.TakeOA = lin., AN=2in., N(a=5in. KAPITEL XIII POLARE GLEICHUNG EINES KONISCHEN ABSCHNITTS. 298. Wird der Fokus eines Konikums als Ursprung genommen und SX das Perpendikular auf der entsprechenden Directrix als Ausgangslinie, so ist das Äquaiion des Konikums - = 1 + e cos 5, ivhere e ist die Exzentrizität und ithe semirlatus rectum. Wenn (r, 6) die Koordinaten eines beliebigen Punktes P auf dem Knorpel sind,SL wird das Semilatus-Rektum, undPM, PN senkrecht zur Direktrix bzw. zur Achse gezeichnet, r = SP = e.PM=«. NX = «(SX + SN) = SL + e.SPcosPSN (für

RM2CH98EX–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. Rectrix unterzieht einen rechten Winkel im Fokus. Dies kann als für die Ellipse in Art. 231 schriftlich nachgewiesen werden - J^für h^, oder die geometrische Methode von Art. 232 verwendet werden kann. In einer Hyperbel schneiden sich Tangenten an den Enden eines fokalen Akkords auf die entsprechende Direktrix. Schriftlich - b^ für b^ in Art. 233 gilt das Verfahren. KUNST. 287.] PEOPERTIES OP DIE HYPERBEL. 269 Wenn von T, einem Punkt auf der Tangente bei P, Senkrechte TR, TMwerden auf den Brennabstand SP und die Directrix, SR = «TM gezeichnet. Dies kann bewiesen werden, wie in AH. 234 mit der Necess

$. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. Abb. 84. ^ n • AA;+B« + Cby Definition der Parabel. AA; + durch + C Akt. 136.] DER PAEABOLA. 123 Multiplikation und Quadratur, haben wir (A2 + B2) [{X - x^Y + {y- y^f] = (AA; + durch + 0)^, die erforderliche Gleichung.. Folge. Alle Begriffe nach links transponieren, die Begriffe des zweiten Grades = x^^ + &- A^) - 2^BXY + y%A^ + B^ - B^)= B^x^-2fiiBxy + f<Y= (BX- kyy, ein perfektes Quadrat.so sehen wir, dass in der Gleichung jeder Parabel die Termsen des zweiten Grades ein perfektes Quadrat bilden. Dies ist das unterscheidende Merkmal des neuen Stockfoto$

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RM2CHBP82–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. Abb. Los. Dann SR = TM von Adams Proposition auch im ATSR, TSR, die l bei R und R sind rechtwinklig... L TSR = z. TSR, der die Aussage bestätigt. ART. In.] EIGENSCHAFTEN DER PARABEL. 153 171. Gegeben eine Parabel, seine foeus und directrix, Tangenten zu ihm von einem externen Punkt zu zeichnen. TK senkrecht zur Richtungsrichtung vom angegebenen Punkt zeichnen. Mit Zentrum 8 und Radius gleich TK einen Kreis beschreiben und Tangenten TM, TM zu ihm zeichnen. Treten Sie SM, SM und lassen Sie sie meetthe Parabel bei P und Q. TP und TQ sind Tangenten zum Parabolaat P

RM2CHB6PR–. Algebraische Geometrie; eine neue Abhandlung über analytische konische Abschnitte. = olvf = 38 ^y Konstruktion. Auf die gleiche Weise erhalten wir die Punkte Pi,^i, ^NPI, ^3,PS- •■■, die sie durch eine gerade Kurve verbinden, haben wir die erforderliche Ellipse. 201. Eine dlipse mittels der Eigenschaft SP + SP = 20 zu verfolgen. Nehmen Sie ein Gewinde der Länge 2a, und befestigen Sie seine Enden an zwei PunkteS, S mit Hilfe der Reißnadeln. Setzen Sie einen Bleistiftpunkt in den Winkel SPS, bewegen Sie es, wobei der Faden gespannt. Der Bleistiftpunktzeichnet eine Ellipse aus, whosefoci sind S und S, und whosemajor Achse = 2a. Oder wir verwenden die Methode des folgenden Beispiels: Beschreiben Sie ein ell