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Projektive harmonische konjugate Stockfotos & Bilder

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Projektive harmonische konjugate Stockfotos & Bilder

Jean Victor Poncelet. 1788-1867. Französischer Ingenieur Mathematiker Stockfoto
RM2T6TGBF–Jean Victor Poncelet. 1788-1867. Französischer Ingenieur Mathematiker
Jean-Victor Poncelet, französischer Mathematiker Stockfoto
RMHRNWA2–Jean-Victor Poncelet, französischer Mathematiker
. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch. Ein Paar von Punkten, die folgenden Theoreme erhalten. Die Hülle einer Linie, so dass der Ort eines Punktes, So dass seine Schnittpunkte mit A die Tangenten von ihm zu einem gegebenen konischen gegebenen konischen harmonische Konjugate sind, sind harmonische Konjugate seiner Konsektionen mit einem Nektorpaar mit einem Paar von gegebenen Punkten, gegebenen Linien, Ist ein Konic, der berührt, ist ein Konic, der durch das Paar der gegebenen Linien geht. Paar der gegebenen Punkte. 29f) Prinzipien der Projektiven Geometrie Diese Theoreme können sein Stockfoto
RM2CHN8YG–. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch. Ein Paar von Punkten, die folgenden Theoreme erhalten. Die Hülle einer Linie, so dass der Ort eines Punktes, So dass seine Schnittpunkte mit A die Tangenten von ihm zu einem gegebenen konischen gegebenen konischen harmonische Konjugate sind, sind harmonische Konjugate seiner Konsektionen mit einem Nektorpaar mit einem Paar von gegebenen Punkten, gegebenen Linien, Ist ein Konic, der berührt, ist ein Konic, der durch das Paar der gegebenen Linien geht. Paar der gegebenen Punkte. 29f) Prinzipien der Projektiven Geometrie Diese Theoreme können sein
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RMHRP6Y4–Jean-Victor Poncelet, französischer Mathematiker
. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch. 152 Prinzipien der Projektion (Teontetru Punkte, die harmonische Konjugate von L und M sind, und daher bothcircles bestimmen die gleiche Anrufung auf die radikale Achse. Wenn sich die Kreise nicht in realen Punkten schneiden, soll P ein beliebiger Punkt auf ihrer radikalen Achse sein. Die Tangenten von P zu den beiden Kreisen sind gleich ANDA Kreis mit Zentrum P und Radius gleich diesen Tangenten schneidet die Kreise im rechten Winkel. Lassen Sie TT, NN die Akkorde der Schnittungdieses orthogonalen Kreises mit den beiden gegebenen Kreisen sein. Seit der radica Stockfoto
RM2CHXC97–. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch. 152 Prinzipien der Projektion (Teontetru Punkte, die harmonische Konjugate von L und M sind, und daher bothcircles bestimmen die gleiche Anrufung auf die radikale Achse. Wenn sich die Kreise nicht in realen Punkten schneiden, soll P ein beliebiger Punkt auf ihrer radikalen Achse sein. Die Tangenten von P zu den beiden Kreisen sind gleich ANDA Kreis mit Zentrum P und Radius gleich diesen Tangenten schneidet die Kreise im rechten Winkel. Lassen Sie TT, NN die Akkorde der Schnittungdieses orthogonalen Kreises mit den beiden gegebenen Kreisen sein. Seit der radica
Jean-Victor Poncelet, französischer Mathematiker Stockfoto
RMHRP6Y3–Jean-Victor Poncelet, französischer Mathematiker
. Die Prinzipien der projektiven Geometrie angewendet auf die gerade Linie und konisch . der konische Abschnitt. 55. Um die gemeinsame ]xnr von konjugierten Elementen von txuo superposedinvolutions zu finden. 0 und 0 seien die Zentren der beiden Involution. (1) Lassen Sie die Doppelpunkte EF und EF beider Involution bereit. Dann sind die gemeinsamen Konjugate der beiden Involutionen die harmonischen Konjugate EF und EF. (Art 5L) diese Werte sind vorhanden, es sei denn, EF und EF überschneiden sich. (Art 47.) (2) Lassen Sie die doppelten Punkte beider Involution imaginär sein.Konstruieren Sie Punkte S, H gleich weit senkrecht über und unter 0 so, dass A Stockfoto
RM2CJ083D–. Die Prinzipien der projektiven Geometrie angewendet auf die gerade Linie und konisch . der konische Abschnitt. 55. Um die gemeinsame ]xnr von konjugierten Elementen von txuo superposedinvolutions zu finden. 0 und 0 seien die Zentren der beiden Involution. (1) Lassen Sie die Doppelpunkte EF und EF beider Involution bereit. Dann sind die gemeinsamen Konjugate der beiden Involutionen die harmonischen Konjugate EF und EF. (Art 5L) diese Werte sind vorhanden, es sei denn, EF und EF überschneiden sich. (Art 47.) (2) Lassen Sie die doppelten Punkte beider Involution imaginär sein.Konstruieren Sie Punkte S, H gleich weit senkrecht über und unter 0 so, dass A
. Die Grundsätze der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch. Poinsmay er konjugieren in Bezug auf sie*. Lassen Sie A, B, C, £> er den gegebenen Punkt und £J und F das Paar der Konjugatpunkte. A, B, C, D bestimmen auf EF-Aninvohition, von denen P und P, die Punkte, wo EF trifft die konische, sind ein Paar konjugate Punkte. Wenn E, F ax Konjugatpunkte in Bezug auf die konische, P und F sind harmonische Konjugate von E und F.Daher P und P sind ein Paar Konjugatpunkte der Aufruf, von denen E und F sind Doppelpunkte. P und P sind daher als das gemeinsame Paar von Konjugaten von zwei bestimmt Stockfoto
RM2CHPK6J–. Die Grundsätze der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch. Poinsmay er konjugieren in Bezug auf sie*. Lassen Sie A, B, C, £> er den gegebenen Punkt und £J und F das Paar der Konjugatpunkte. A, B, C, D bestimmen auf EF-Aninvohition, von denen P und P, die Punkte, wo EF trifft die konische, sind ein Paar konjugate Punkte. Wenn E, F ax Konjugatpunkte in Bezug auf die konische, P und F sind harmonische Konjugate von E und F.Daher P und P sind ein Paar Konjugatpunkte der Aufruf, von denen E und F sind Doppelpunkte. P und P sind daher als das gemeinsame Paar von Konjugaten von zwei bestimmt
. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch. Konjugieren Sie Punkte und Linien in Bezug auf einen Kreis. Wenn P und Q zwei Punkte sind, die das Polar des einen durch das andere führt, werden die Punkte in Bezug auf den Kreis als Conju-Gate-Punkte bezeichnet. Wenn die Linie, die zwei Konjugatpunkte P und Q verbindet, den Kreis trifft, sind diese Punkte har-monische Konjugate von P und Q. Wenn p das Polar von P durch^igh Q geht, dann geht q das Polar von Q durch^igh P. Wenn PQ den Kreis in realen Punkten A und A trifft Der Satz ist offensichtlich sincePQAA ist harmonisch. Wenn die PQ nicht dem entspricht Stockfoto
RM2CHY2XG–. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch. Konjugieren Sie Punkte und Linien in Bezug auf einen Kreis. Wenn P und Q zwei Punkte sind, die das Polar des einen durch das andere führt, werden die Punkte in Bezug auf den Kreis als Conju-Gate-Punkte bezeichnet. Wenn die Linie, die zwei Konjugatpunkte P und Q verbindet, den Kreis trifft, sind diese Punkte har-monische Konjugate von P und Q. Wenn p das Polar von P durch^igh Q geht, dann geht q das Polar von Q durch^igh P. Wenn PQ den Kreis in realen Punkten A und A trifft Der Satz ist offensichtlich sincePQAA ist harmonisch. Wenn die PQ nicht dem entspricht
. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch angewendet. Polar von einem durchläuft die andere, die Punkte werden als Conju-Gate-Punkte in Bezug auf den Kreis. Wenn die Linie, die zwei Konjugatpunkte P und Q verbindet, den Kreis trifft, sind diese Punkte har-monische Konjugate von P und Q. Wenn p das Polar von P durch^igh Q geht, dann geht q das Polar von Q durch^igh P. Wenn PQ den Kreis in realen Punkten A und A trifft Der Satz ist offensichtlich sincePQAA ist harmonisch. Wenn PQ den Kreis nicht erfüllt, kann der Satz wie folgt beprobt werden: Durch P Draw Akkorde PA A, PBB.Then p ist die Stockfoto
RM2CHY1KH–. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch angewendet. Polar von einem durchläuft die andere, die Punkte werden als Conju-Gate-Punkte in Bezug auf den Kreis. Wenn die Linie, die zwei Konjugatpunkte P und Q verbindet, den Kreis trifft, sind diese Punkte har-monische Konjugate von P und Q. Wenn p das Polar von P durch^igh Q geht, dann geht q das Polar von Q durch^igh P. Wenn PQ den Kreis in realen Punkten A und A trifft Der Satz ist offensichtlich sincePQAA ist harmonisch. Wenn PQ den Kreis nicht erfüllt, kann der Satz wie folgt beprobt werden: Durch P Draw Akkorde PA A, PBB.Then p ist die
. Die Prinzipien der projektiven Geometrie angewendet auf die gerade Linie und konische . lar von 0. Join OA um OO in K zu treffen, nehmen SIE A das Harmonikkonjugat VON A in Bezug auf OK. Dann IST A ein Punkt auf der Kurve.H. P. G. 22 :338 Prinzipien der Projektiven Geometrie Lassen Sie *Scand ,S die beiden Punkte auf OO sein, die Zentren der Perspektive für die zwei Anrufung sind (Art. L 60, S. Dann ist das Dreieck OSS selbstkonjugiert in Bezug auf die konischen (Art L 148, S. Verbinden Sie ..-l zu S und S, um die oppo.site Seiten dieses Dreiecks in EINEM^ und EINEM^ zu treffen. B und C seien die harmonischen Konjugate VON A in Bezug auf ay und vl2S. Dann B und C Stockfoto
RM2CHMJ8G–. Die Prinzipien der projektiven Geometrie angewendet auf die gerade Linie und konische . lar von 0. Join OA um OO in K zu treffen, nehmen SIE A das Harmonikkonjugat VON A in Bezug auf OK. Dann IST A ein Punkt auf der Kurve.H. P. G. 22 :338 Prinzipien der Projektiven Geometrie Lassen Sie *Scand ,S die beiden Punkte auf OO sein, die Zentren der Perspektive für die zwei Anrufung sind (Art. L 60, S. Dann ist das Dreieck OSS selbstkonjugiert in Bezug auf die konischen (Art L 148, S. Verbinden Sie ..-l zu S und S, um die oppo.site Seiten dieses Dreiecks in EINEM^ und EINEM^ zu treffen. B und C seien die harmonischen Konjugate VON A in Bezug auf ay und vl2S. Dann B und C
. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konische angewendet. Schnittpunkte, Jede Tangente die zwei Paiis der Tangenten, die zu diesem Konik kann, wird hy geschnitten die zwei Konies er dratun zu den zwei Konies aus in zwei Paaren von Punkten, die jeder Punkt auf diesem Konik sind Paare von harmonischen Konjugaten. Harmonische Konjugate. Lassen Sie die beiden gegebenen Konies (1) und (2) in W, X, Y, Z. Drawthe chord WX and let the tangens to (1) at W and X secent in Cand tangens to (2) in C. Join GC Meeting XW m L. auf dieser Linie take C the Harmonic conjugate of L in Bezug auf CG. Beitreten WC, XGand des Stockfoto
RM2CHNA7G–. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konische angewendet. Schnittpunkte, Jede Tangente die zwei Paiis der Tangenten, die zu diesem Konik kann, wird hy geschnitten die zwei Konies er dratun zu den zwei Konies aus in zwei Paaren von Punkten, die jeder Punkt auf diesem Konik sind Paare von harmonischen Konjugaten. Harmonische Konjugate. Lassen Sie die beiden gegebenen Konies (1) und (2) in W, X, Y, Z. Drawthe chord WX and let the tangens to (1) at W and X secent in Cand tangens to (2) in C. Join GC Meeting XW m L. auf dieser Linie take C the Harmonic conjugate of L in Bezug auf CG. Beitreten WC, XGand des
. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konische angewendet. Onic Konjugat von c mit respectto a und B. Nehmen Sie zwei beliebige Linien s und sintersecting auf c und konstruieren Sie die Schnittpunkte von s und s mit a und b.Let as. sb und SB. sa be b anda. Dann aus der harmonischen Pro-perty der gesamten quadrilateraldie Linie, die ab zum Vertexis verbindet, ist der erforderliche Strahl d. 47. Um das gemeinsame Paar harmonischer Konjugate von Tiuo zu finden, gibt es Paare von kollinearen Punkten A, A und B, B. Nehmen Sie jeden Punkt K nicht auf der geraden Linie ABBA. Beschreiben Sie Kreise durch AKA und BKB. Diese Kreise werden 84 Prinzipien o Stockfoto
RM2CJ0HYT–. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konische angewendet. Onic Konjugat von c mit respectto a und B. Nehmen Sie zwei beliebige Linien s und sintersecting auf c und konstruieren Sie die Schnittpunkte von s und s mit a und b.Let as. sb und SB. sa be b anda. Dann aus der harmonischen Pro-perty der gesamten quadrilateraldie Linie, die ab zum Vertexis verbindet, ist der erforderliche Strahl d. 47. Um das gemeinsame Paar harmonischer Konjugate von Tiuo zu finden, gibt es Paare von kollinearen Punkten A, A und B, B. Nehmen Sie jeden Punkt K nicht auf der geraden Linie ABBA. Beschreiben Sie Kreise durch AKA und BKB. Diese Kreise werden 84 Prinzipien o
. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch angewendet. Der Ähnlichkeit der Kreise, sind die doppelten Punkte dieser Involution und sind die gemeinsamen harmonischen Konjugate OFC, C und Z, L. [CF. Bsp. 10, Kap. VII und {<•) Art. 106.] Kreise in Perspektive. (21) *S ist ein fester Punkt und p, q zwei vorgegebene parallele Geraden, p ist die theradische Achse von *S und ein fester Kreis : FG ist jede Tangente zu diesem Kreis, trifft p INF und q in 6^, und GT wird parallel zu SF gezeichnet. Beweisen Sie, dass die Hülle von GT ist acircle und geben eine geometrische Konstruktion für die Suche nach seinem Zentrum. Nehmen Sie S AS Stockfoto
RM2CHWT16–. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch angewendet. Der Ähnlichkeit der Kreise, sind die doppelten Punkte dieser Involution und sind die gemeinsamen harmonischen Konjugate OFC, C und Z, L. [CF. Bsp. 10, Kap. VII und {<•) Art. 106.] Kreise in Perspektive. (21) *S ist ein fester Punkt und p, q zwei vorgegebene parallele Geraden, p ist die theradische Achse von *S und ein fester Kreis : FG ist jede Tangente zu diesem Kreis, trifft p INF und q in 6^, und GT wird parallel zu SF gezeichnet. Beweisen Sie, dass die Hülle von GT ist acircle und geben eine geometrische Konstruktion für die Suche nach seinem Zentrum. Nehmen Sie S AS
. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch. â â ab,BA â â â â in zwei Fällen überschneiden sich die Involution nicht, d.h. in der Abbildung in den Fällen(1) und (2). Die doppelten Punkte dieser Involution sind real. In einem Fall überlappt sich die Involution, d.h. in der Figur in Fall (3).die Doppelpunkte dieser Involution sind imaginär. El und F^ die gemeinsamen harmonischen Konjugate VON A und BB, d.h. die Doppelpunkte von (1), sind ein Paar echter Konjugatpunkte von (2) und von (3). (Beispiel 1, Seite 105.) E2 und F2 die gemeinsamen harmonischen Konjugate von ab, ab, d.h. der Dou Stockfoto
RM2CJ03DF–. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch. â â ab,BA â â â â in zwei Fällen überschneiden sich die Involution nicht, d.h. in der Abbildung in den Fällen(1) und (2). Die doppelten Punkte dieser Involution sind real. In einem Fall überlappt sich die Involution, d.h. in der Figur in Fall (3).die Doppelpunkte dieser Involution sind imaginär. El und F^ die gemeinsamen harmonischen Konjugate VON A und BB, d.h. die Doppelpunkte von (1), sind ein Paar echter Konjugatpunkte von (2) und von (3). (Beispiel 1, Seite 105.) E2 und F2 die gemeinsamen harmonischen Konjugate von ab, ab, d.h. der Dou
. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch angewendet . versal ab trifft die Seiten asin die Figur in RSTU, {ABUR)=-,{ABRS)=-V,{ABST)=-1.A^^ ^ AS AT ■ BU Bit BS BTDaher der Stift (IV. KMAB) ist haar-monic. Da -jryy =7.^.5 C und S zeitgleich JtSU JJib oder ^^ durch E durchläuft. Ebenso durchläuft ab F.Paar harmonischer Konjugate von E und F. (6) Wenn ABCD ein Viereck ist und AC.BD BB halbiert, dann ist der Anschluss von ab.CDto AD.CB parallel zu BD, oder ABCD ist ein Parallelogramm. (7) Wenn ein transversaler Schnitt die Seiten BC, CA, ab eines Dreiecks in /*, (^, Resp., dann (i Stockfoto
RM2CJ0EMB–. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch angewendet . versal ab trifft die Seiten asin die Figur in RSTU, {ABUR)=-,{ABRS)=-V,{ABST)=-1.A^^ ^ AS AT ■ BU Bit BS BTDaher der Stift (IV. KMAB) ist haar-monic. Da -jryy =7.^.5 C und S zeitgleich JtSU JJib oder ^^ durch E durchläuft. Ebenso durchläuft ab F.Paar harmonischer Konjugate von E und F. (6) Wenn ABCD ein Viereck ist und AC.BD BB halbiert, dann ist der Anschluss von ab.CDto AD.CB parallel zu BD, oder ABCD ist ein Parallelogramm. (7) Wenn ein transversaler Schnitt die Seiten BC, CA, ab eines Dreiecks in /*, (^, Resp., dann (i
. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch. Projektive Formen Harmonic 87 Let PC Meet ab in K. auf ab nehmen Q die harmonische Konjugat von K in Bezug auf ab. Dann ist PQ die erforderliche Zeile. (3) vier Zeilen l^, I2, I3, h und vier Punkte Pi, Po, P3, Pi geben an, dass die Anschlüsse von Pi, P2, Pz, P4 bis C harmonische Konjugate von ^i, U-, I3, li gegenüber den Anschlüssen von PJ, P2 sind) AJ -^4 zu A und B, Beweisen Sie, dass der Bleistift (C PIP^PsPi) projektiv ist, mit dem Bereich, der auf ab durch die Linien ?j, I2, I3, ^4 gebildet wird. (4) die Linien, die einen beliebigen Punkt 0 bis vier collinea verbinden Stockfoto
RM2CJ0FP7–. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch. Projektive Formen Harmonic 87 Let PC Meet ab in K. auf ab nehmen Q die harmonische Konjugat von K in Bezug auf ab. Dann ist PQ die erforderliche Zeile. (3) vier Zeilen l^, I2, I3, h und vier Punkte Pi, Po, P3, Pi geben an, dass die Anschlüsse von Pi, P2, Pz, P4 bis C harmonische Konjugate von ^i, U-, I3, li gegenüber den Anschlüssen von PJ, P2 sind) AJ -^4 zu A und B, Beweisen Sie, dass der Bleistift (C PIP^PsPi) projektiv ist, mit dem Bereich, der auf ab durch die Linien ?j, I2, I3, ^4 gebildet wird. (4) die Linien, die einen beliebigen Punkt 0 bis vier collinea verbinden
. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch angewendet. In Bezug auf sie und so, dass es (1) durch zwei vorgegebenen Punkten, (2) einen bestimmten Punkt und berührt eine bestimmte Linie, oder (3) berührt zwei vorgegebenen Linien. (1) Lassen Sie EFG das gegebene Dreieck und Aund B die gegebenen Punkte sein. Verbinden SIE A mit E, F, G tomeet die gegenüberliegenden Seiten in Ai, A^, A^; takea, A, A die harmonischen Konjugate VON A in Bezug auf ^i ^, AipjAs G. die konischen througa, A, A, A und B ist die erforderliche konische. (2) Gehen Sie wie in (1), sondern beschreiben aconic durch A, A, A, A, um die givenline h. (3) ist das Korrelat von (1).(1) und Stockfoto
RM2CHPN42–. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch angewendet. In Bezug auf sie und so, dass es (1) durch zwei vorgegebenen Punkten, (2) einen bestimmten Punkt und berührt eine bestimmte Linie, oder (3) berührt zwei vorgegebenen Linien. (1) Lassen Sie EFG das gegebene Dreieck und Aund B die gegebenen Punkte sein. Verbinden SIE A mit E, F, G tomeet die gegenüberliegenden Seiten in Ai, A^, A^; takea, A, A die harmonischen Konjugate VON A in Bezug auf ^i ^, AipjAs G. die konischen througa, A, A, A und B ist die erforderliche konische. (2) Gehen Sie wie in (1), sondern beschreiben aconic durch A, A, A, A, um die givenline h. (3) ist das Korrelat von (1).(1) und
. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch. -. {ACD!)={;]CBJ),AD.BC DCIJ (^) RT^ = TRN (c) OC.OD = OA Al.BJ qc^ QA ■• OAOD ■. {CAjr)={ADjr), J^. JD IC. ID ■ {Jay {CAOaz) = {ADOao), {d) OCOD m {IAF •{CDOcc) = (CDAxY, {CDjr)={CDAry,cj. cr DJ. DT /CA^da, Erweiterungen der oben genannten Theoreme können auch durch die Einführung C-Themdle-Punkt von DC erhalten werden. In diesem Fall sind 0 und 0 die harmonischen Konjugate des Pointat Infinity oo auf der Linie in Bezug auf ab bzw. CD. BEISPIELE. (1) bei einer Linie p und drei festen Punkten A, B, C, um einen Punkt P auf p zu finden Stockfoto
RM2CJ0G8J–. Die Prinzipien der projektiven Geometrie auf die gerade Linie und konisch. -. {ACD!)={;]CBJ),AD.BC DCIJ (^) RT^ = TRN (c) OC.OD = OA Al.BJ qc^ QA ■• OAOD ■. {CAjr)={ADjr), J^. JD IC. ID ■ {Jay {CAOaz) = {ADOao), {d) OCOD m {IAF •{CDOcc) = (CDAxY, {CDjr)={CDAry,cj. cr DJ. DT /CA^da, Erweiterungen der oben genannten Theoreme können auch durch die Einführung C-Themdle-Punkt von DC erhalten werden. In diesem Fall sind 0 und 0 die harmonischen Konjugate des Pointat Infinity oo auf der Linie in Bezug auf ab bzw. CD. BEISPIELE. (1) bei einer Linie p und drei festen Punkten A, B, C, um einen Punkt P auf p zu finden
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